BASIS ORTONORMAL DAN GRAM SCHMIDT

Nama      : Widya Tari 

 Nim         : 202231028

 Jurusan  : S1 Teknik Informatika

 Kelas       : A

Matkul     : ALJABAR LINEAR

RUANG HASIL KALI DALAM

DEFINISI RUANG HASIL KALI DALAM :

Misalkan V ruang vektor. Operasi yang mrngaitkan anggota V, Mislnya u,v ⋴ V dengan bilangan real, yang ditulis sebagai <u,v>, disebut hasil kali dalam jika  memenuhi keempat asioma berikut :

    1. [u,v] = [v,u]                                   (aksioma simetri)

    2. [u+v,w] = [u,w] + [v,w]                (aksioma penambahan)

    3. [ku,v] = k[u,v]                               (aksioma kehomogenan)

    4. [u,u] ≥ 0 dan [u,u] = 0 Û u=0      (aksioma kepositifan)

Contoh :

Jika u = [u1,u2,…,un], dan v = [v1,v2,…,vn] adalah vektor-vektor pada Rn, maka :

                  [u,v] = u•v = u1v1 + u2v2 + … + unvn

adalah hasil kali dalam pada ruang Euclides Rn. Dan u dan v dikatakan ortogonal jika [u,v] = 0. 

Jika u ortogonal terhadap setiap vektor pada V, maka u dikatakan ortogonal terhadap V.

BASIS ORTONORMAL

Misalkan V merupakan ruang hasil kali dalam. W= {u1, u2, ..., un}. Himpunan W disebut himpunan ortonormal jika W himpunan ortogonnal dan panjang setiap anggota W adalah satu. Atau dalam bentuk lambang ditulis :

    1. <Ui, Uj> = 0, untuk i,j = 1,2,...,n dan i tidak sama dengan j

    2. ||Ui|| = 1, untuk setiap i = 1,2,...,n.

CONTOH :

Apakah W = {a= (-1, 0, 3), b=(2, 1, 1), c=(1, -7, 1/2)} merupakan himpunan ortonormal terhadap hasil kali dalam <u, v>= 3U1V1 + U2V2 + 2U3V3 ?

JAWAB :

<a, b>  = 3. (-1).2 + 0.1 + 2.3.1

              = -6 + 0 + 6

              = 0

<a, c> = 3. (-1).1 + 0.(-7) + 2.3.(1/2)

             = -3 + 0 + 3

             = 0